eh bien merci à ce correspondant Saint GlinGlin ! évidemment là c'est pas analysable comme j'ai essayé de le faire sur le wiki
et je ne met pas en doute cet honorable correspondant (je suis pas journaliste mais matheux )
écoute j'ai analysé selon les informations légales du wiki Saint GlinGlin (ceci dit je suis resté respectueux envers lui -relis moi- )
bon ça n'excuse rien mais comment te dire .... on a un peu le même problème en maths sur le wiki (car personnellement je bosse ailleurs) par exemple là entre ce qui est dit là
http://fr.wikipedia.org/wiki/Covariant_ ... travariant et ce que je dit là ici pour la source
voir l'endroit où est situé l'extrait ci-dessous
et donc en fait l'extrait là eh bien il y a une sacrée marge camarade Saint GlinGlin
11-espace dual
il s'agit ici d'expliquer la notion de dualité de l'espace vectoriel en ce qui concerne les notions de composantes covariantes et contravariantes
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changement de repere dans l'espace affine euclidien fini |R^n
On se place sur l'espace affine euclidien |R^n , dans cet espace les objets décris ici sont des points ou des repères
dans l'écriture ici les points sont décris par des lettres majucules, les matrices qui représentent ces points selon l'écriture
[P] est la matrice qui represente le point P
les reperes sont decris par l'expression {X,Y} le terme à gauche étant un point et le terme à droite étant une base
par ailleurs on note [AB] la matrice qui represente le vect {AB}
enfin on note {0_n,Id} le repere canonique et ici le point noté 0_n dont les coordonnées sont toutes nulles et Id la base canonique
Soit un point S dont les coordonnées sont données par rapport au repere canonique et soient deux reperes {A,base {M}} et {A',base {M'}}
dont les composantes sont définies par rapport au repere canonique
on considere T qui donne les coordonnées du point S par rapport au repere {A,base {M}}
et on considere T' qui donne les coordonnées du point S par rapport au repere {A',base {M'}}
on obtiens [T] = [base {M}]^-1.[vec {AS}] et [T'] = [base {M'}]^-1.[vec {A'S}]
on considère le repere {L',base {N'}} qui donne les coordonnées du repere {A',base {M'}} par rapport au repere {A,base {M}}
on considère le repere {L,base {N}} qui donne les coordonnées du repere {A,base {M}} par rapport au repere {A',base {M'}}
on dit que [base {N'}] est la matrice de changement de base de la matrice [base {M'}] sur la base base {M} on verifie [base {N'}] = [base {M}]^-1.[base {M'}]
et que [base {N}] est la matrice de changement de base de la matrice [base {M}] sur la base base {M'} on verifie [base {N}] = [base {M'}]^-1.[base {M}]
on verifie [base {N'}] = [base {N}]^-1 et [base {N}] = [base {N'}]^-1
[L'] = [base {M}]^-1.[AA'] et [L] = [base {M'}]^-1.[A'A]
[T'] = [base {N'}]^-1.[L'T] et [T] = [base {N}]^-1.[LT']
considérons la géométrie dans l'espace en posant T=(tx,ty,tz) et T'=(tx',ty',tz')
S = tx.vec {M1} + ty.vec {M2} + tz.vec {M3} + A = tx'.vec {M1'} + ty'.vec {M2'} + tz'.vec {M3'} + A'
avec la base {M} formée des vecteurs dans l'ordre: vec {M1} , vec {M2} , vec {M3}
et la base {M'} formée des vecteurs dans l'ordre: vec {M1'} , vec {M2'} , vec {M3'}
Soient sont donnés T et le repere {L',base {N'}} c'est à dire respectivement
les coordonnées du point S et les coordonnées du repere {A',base {M'}} par rapport au repere {A,base {M}} alors
[base {N}] = [base {N'}]^-1 donne la valeur de la base base {M} par rapport à la base base {M'}
[T'] = [N']^-1.[L'T] donne les coordonnées du point S par rapport au repere {A',base {M'}}
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matrice de changement de base
Soit une (nXp) matrice B et une base base {E} de |R^n alors le produit
A = [base {E}]^-1.B est une (nXp) matrice c'est la matrice de changement de base de la matrice B sur la base base {E} et on vérifie B = [base {E}].A
on verifie l'équivallence logique "A est une base" <=> "B est une base"
ici on reprend les objets précédents le point S et les deux bases base {M} et base {M'} en posant A = A' = 0_n on obtiens L = L' = 0_n
alors ce faisant les points peuvent tout aussi bien representer des vecteurs et les reperes tout aussi bien representer des bases
on considere T qui donne les coordonnées du point S par rapport au repere {0_n,base {M}}
et on considere T' qui donne les coordonnées du point S par rapport au repere {0_n,base {M'}}
précédemment on a vu que [T'] = [base {N'}]^-1.[T] et [T] = [base {N}]^-1.[T']
et puisque les points ici peuvent tout aussi bien representer des vecteurs et les reperes tout aussi bien representer des bases par conséquent
vec {T} est un vecteur definit sur la base base {M} et vec {T'} est un vecteur definit sur la base base {M'}
[base {N'}] est la matrice de changement de base de la matrice [base {M'}] sur la base base {M} on verifie [base {N'}] = [base {M}]^-1.[base {M'}]
et [base {N}] est la matrice de changement de base de la matrice [base {M}] sur la base base {M'} on verifie [base {N}] = [base {M'}]^-1.[base {M}]
on verifie vec {T'} = [base {N'}]^-1.vec {T} = [base {N}].vec {T} et vec {T} = [base {N}]^-1.vec {T'} = [base {N'}].vec {T'}
car [base {N'}]^-1 = [base {N}] et [base {N}]^-1 = [base {N'}]
à présent considerons le produit [vec {T'}] = [base {N}].[vec {T}]
il résulte donc alors que le produit de la matrice [base {N}] de changement de base ici de la matrice [base {M}] sur la base base {M'}
par un vecteur vec {T} definit sur la base base {M} donne pour solution vec {T'} est un vecteur definit sur la base base {M'}
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produit scalaire euclidien
soient deux vecteurs vec {V} et vec {W} et une base base {E} definis sur la base canonique Id de |R^n
on note vec {X} et vec {Y} les deux vecteurs respectivement vec {V} et vec {W} mais definis sur la base base {E}
par consequent [vec {X}] = [base {E}]^-1.[vec {V}] et donc [vec {V}] = [base {E}].[vec {X}]
[vec {Y}] = [base {E}]^-1.[vec {W}] et donc [vec {W}] = [base {E}].[vec {Y}]
on considere le produit scalaire euclidien
vec {V}.vec {W}= vec {X}.vec {Y} = ||vec {V}||.||vec {W}||.cos(phi)=||vec {X}||.||vec {Y}||.cos(phi)
effectivement le fait que les vecteurs ne soit pas definis sur la même base n'empeche pas leur norme varier ni l'angle formé par les deux vecteurs
vec {V}.vec {W} = v_1.w_1+v_2.w_2+...+v_n.w_n
vec {X}.vec {Y} =
x_1.y_1.g_11+x_1.y_2.g_12+...+x_1.y_n.g_1n+
x_2.y_1.g_21+x_2.y_2.g_22+...+x_2.y_n.g_2n+
...
x_n.y_1.g_n1+x_n.y_2.g_n2+...+x_n.y_n.g_nn
g_ij sont les composantes de la base associée notée base {G} de la base base {E} et on verifie [base {G}] = [base {E}]^A = [base {E}]^t.[base {E}]
[base {E}]^t étant la matrice transposée de [base {E}]
lorsque base {E} est orthogonale alors vec {X}.vec {Y} = x_1.y_1.g_11 + x_2.y_2.g_22 + ... + x_n.y_n.g_nn
lorsque base {E} est orthonormée alors vec {X}.vec {Y} = x_1.y_1.lambda + x_2.y_2.lambda +...+ x_n.y_n.lambda avec lambda = g_11 = g_22 = ... = g_nn
lorsque base {E} est ortho-unitaire vec {X}.vec {Y} = x_1.y_1 + x_2.y_2 +...+ x_n.y_n
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préalable sur les composantes covariantes et contravariantes
à tout vecteur vec {X} défini sur une base base {E} on considere vec {X_i} la notation qui definit ce vecteur par des composantes covariantes
vec {X^i} la notation qui definit ce vecteur par des composantes contravariantes
telles que selon le produit scalaire euclidien on obtiens vec {X}^2 = x_1.x^1 + x_2.x^2 + ... + x_n.x^n
par convention on dira que les composantes d'un vecteur vec {V} quelconque definit sur la base canonique Id sont des composantes covariantes
(bien évidemment ce n'est pas le seul cas ...mais là on commence l'explication et cette convention est acceptable pour commencer)
on notera ce vecteur vec {V_i} avec l'indice i situé en bas
il résulte d'une telle convention :
Soit un systeme de P vecteurs de |R^n et definis sur la base canonique alors on notera {vec {V_ij}} est ce systeme de P vecteurs
dont les composantes sont covariantes
Soit une base base {E} definie sur la base canonique alors on notera base {E_ij} est cette base dont les composantes sont covariantes
Par ailleurs étant donné que c'est la nature de la base sur laquelle est definie un vecteur qui va influer sur l'expression du produit scalaire par conséquent :
soient deux vecteurs vec {V_i} et vec {W_i} et une base base {E_ij} definis sur la base canonique Id de |R^n
ici on exprime donc des composantes covariantes
cependant étant donné que la base canonique est ortho-unitaire on peut aussi écrire
soient deux vecteurs vec {V^i} et vec {W^i} et une base base {E_ij} definis sur la base canonique Id de |R^n
ici les composantes des vecteurs sont contravariantes puisque on a les égalitées V_i = V^i et W_i = W^i
on note vec {X^i} et vec {Y^i} les deux vecteurs respectivement vec {V^i} et vec {W^i} mais definis sur la base base {E_ij}
par consequent [vec {X^i}] = [base {E_ij}]^-1.[vec {V^i}] et donc [vec {V^i}] = [base {E_ij}].[vec {X^i}]
[vec {Y^i}] = [base {E_ij}]^-1.[vec {W^i}] et donc [vec {W^i}] = [base {E_ij}].[vec {Y^i}]
on considere le produit scalaire euclidien
vec {V}.vec {W} = v^1.w^1+v^2.w^2+...+v^n.w^n
vec {X}.vec {Y} =
x^1.y^1.g_11+x^1.y^2.g_12+...+x^1.y^n.g_1n+
x^2.y^1.g_21+x^2.y^2.g_22+...+x^2.y^n.g_2n+
...
x^n.y^1.g_n1+x^n.y^2.g_n2+...+x^n.y^n.g_nn
g_ij sont les composantes de la base associée notée base {G_ij} de la base base {E_ij} et on verifie [base {G_ij}] = [base {E_ij}]^t.[base {E_ij}]
étant donné l'égalitée des composantes covariantes et contravariantes des vecteurs definis sur une base ortho-unitaire
vec {V}.vec {W} = vec {X}.vec {Y} = v^1.w^1+v^2.w^2+...+v^n.w^n = x^1.y_1+x^2.y_2+...+x^n.y_n = x_1.y^1+x_2.y^2+...+x_n.y^n
par conséquent en considérant le produit scalaire vec {X}.vec {X} on verifie
x_1 = x^1.g_11+x^2.g_12+...+x^n.g_1n
x_2 = x^1.g_21+x^2.g_22+...+x^n.g_2n
...
x_n = x^1.g_n1+x^2.g_n2+...+x^n.g_nn
de sorte que x_i=g_ik.x^k par conséquent [vec {x_i}] = [base {G_ij}].[vec {x^i}] de sorte que [vec {x^i}] = [base {G_ij}]^-1.[vec {x_i}]
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base réciproque et base associée réciproque
on a vu que [vec {X^i}] = [base {E_ij}]^-1.[vec {V^i}] et donc [vec {V^i}] = [base {E_ij}].[vec {X^i}]
le vecteur vec {V^i} étant défini par la base canonique Id de sorte que l'on a l'égalitée v_i = v^i
de la même manière il existe une base dite base réciproque de la base base {E_ij} qui sous la forme matricielle est notée [base {E_ij}]^R = [base {E^ij}]
telle que [vec {X_i}] = [base {E^ij}]^-1.[vec {V_i}] de sorte que [vec {V_i}] = [base {E^ij}].[vec {X_i}]
par ailleurs selon l'égalitée v_i = v^i on obtiens donc [vec {V^i}] = [base {E^ij}].[vec {X_i}]
enfin [vec {V^i}] = [base {E_ij}].[vec {X^i}] par consequent [base {E_ij}].[vec {X^i}] = [base {E^ij}].[vec {X_i}]
et donc [vec {X^i}] = [base {E_ij}]^-1.[base {E^ij}].[vec {X_i}] = [base {G_ij}]^-1.[vec {x_i}]
de sorte que
[base {E_ij}]^-1.[base {E^ij}] = [base {G_ij}]^-1 et donc
[base {E^ij}] = [base {E_ij}].[base {G_ij}]^-1 = [base {E_ij}].([base {E_ij}]^t.[base {E_ij}])^-1 = [base {E_ij}].[base {E_ij}]^-1.([base {E_ij}]^t)^-1
l'ensemble des bases munis du produit étant un groupe le produit est donc associatif, il résulte donc [base {E^ij}] = ([base {E_ij}]^t)^-1
Soit une base {E_ij} definie par des composantes covariantes sur une base quelconque B alors il existe une base dite la base reciproque de la base base {E_ij}
et notée base {E^ij} definie par des composantes contravariantes sur cette base quelconque B et definie par le produit matriciel
[base {E^ij}] = [base {E_ij}]^R = ([base {E_ij}]^t)^-1 = ([base {E_ij}]^-1)^t
Soit une base {E^ij} definie par des composantes contravariantes sur une base ortho-unitaire B alors il existe une base dite la base reciproque de la base base {E^ij}
et notée base {E_ij} definie par des composantes covariantes sur cette base ortho-unitaire B et definie par le produit matriciel
[base {E_ij}] = [base {E^ij}]^R = ([base {E^ij}]^t)^-1 = ([base {E^ij}]^-1)^t
par ailleurs la base associée notée base {G_ij} de la base {E_ij} et on verifie
[base {G_ij}] = [base {E^ij}]^A = [base {E_ij}]^t.[base {E_ij}]
pour un vecteur vec {X} defini sur cette base alors [vec {x_i}] = [base {G_ij}].[vec {x^i}] et [vec {x^i}] = [base {G^ij}].[vec {x_i}]
en effet on avait vu [vec {x^i}] = [base {G_ij}]^-1.[vec {x_i}] par consequent on doit demontrer que [base {G^ij}] = [base {G_ij}]^-1
or [base {G^ij}] = [base {G_ij}]^R = ([base {G_ij}]^t)^-1 cela signifie qu'il faut demontrer que [base {G_ij}] = [base {G_ij}]^t
ce qui est le cas car base {G_ij} ayant pour composantes g_ij chacune d'elles donne le produit scalaire euclidien du vecteur i par le vecteur j
le produit scalaire euclidien étant commutatif il resulte que g_ij = g_ji
la base {G^ij} est la base associée réciproque de la base {E_ij}
juste que l'on comprend mieux comment il a fonctionné
