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voila j'ai un probléme avec l'infini : je l'aime pas la couleur de son pull ! non plus sérieusement cette petite bête n'arrête pas de créer des incohérence qui insupporte :

voir le paradoxe de la toute puissance que j'ai que trop répéter ces dernier temps et celui qui suit :

soit un nombre x = 0.9999... avec une infinité de 9 après la virgule

10x = 9.9999 avec une infinité de 9

donc 10x = 9+x ; donc 9x=9 ....et x = 1 !

donc 0.9999 = 1 !

je vous laisse y réfléchir ^^

Je pense qu'il y a un problème dans l'étape
10x = 9+x
Vu que le nombre que t'utilises n'est pas infini mais fini...


C'est un peu comme si tu prends 0.33333333..., tu le multiplies pas 3 tu arrives à 0.9999999999999... mais ce nombre si on prend sa version fractionnaire, 1/3 (celui-ci est bien complet), on le multiplie par 3 et on atteint 1.

C'est une histoire d'opération, je ne suis pas expert en math même si j'en ai fait pas mal...

Il n'y a pas d'erreur de raisonnement.

En mathématique, "0,999..." est bien rigoureusement égal à "1".

C'est marrant mais c'est comme ça.

Il n'y a pas de contradiction : on a bien 0.99999.... = 1

demonstration (ce que tu as ecrit en est deja une, je le fais avec une methode differente)
disons a = 0.9999999....
soit d = 1-a.
La question devient alors "d=0" ou "d>0" ?
on a alors :
..d est un réel positif ou nul (pas de probleme sur son existence)
..Tout nombre strictement positif, aussi petit soit-il, est supérieur à d.
exemple : 0.0000001 est-il supérieur à d ? oui car :
a + 0.000001 = 1.000000099999 > 1.
..l'ensemble des réels possède la propriété dite de "densité dans lui-même" : entre 2 nombres réels distincts quelconques on peut trouver un 3e nombre réel. Ici on a démontré qu'on ne pouvait pas trouver de nombre entre 0 et d : c'est donc qu'ils ne sont pas distincts.

en plus court
(1) d>= 0
(2) pour tout e>0 ; d<e
alors d = 0


c'est à dire 0.9999.... = 1



@macgregor : ce n'est pas le nombre qui est infini mais l'expression qui en est donnée.

C'est absolument vrai, ta démonstration est exacte.

Voilà un forum de science qui explique ce phénomène mathématique souvent posé http://forums.futura-sciences.com/mathe ... iques.html

regarde la 2e réponse sur le sujet.

Ok ça marche comme ça, intéressant.

Donc vu la non-distinction des deux nombres ils sont identiques. (je ne connaissais pas cette propriété, j'ai fait pas mal de math durant ma formation mais c'était plutôt orienté calcul différentiel)

C'est quand même chouette les math...

donc 10x = 9+x ; donc 9x=9 ....et x = 1 !

Y'a une erreur grave juste là.

10x=9+x n'égalera jamais 9x=9

Ensuite 0,9999999 n'est pas 1.

En math 4 chiffre après la virgule est considéré comme exact.

Et lorsque l'on fait des maths d'un peu plus haut niveau, 0,9999 ne sera jamais compté comme 1, mais comme 0,9999.

donc 10x = 9,9999
et 9x 8,9991
Même en arrondissant les réponses, vraiment gorssièrement, on arrive a 10 et 9. Mais si on les arrondis comme il se doit, en se servant juste du dernier chiffre, on arrive plutôt a 10 et 8,9990

10x=9+x n'égalera jamais 9x=9

euh si , 10x = 9 + x
10x - x = 9
9x=9.....

Ensuite 0,9999999 n'est pas 1.

justement on parle d'un chiffre avec une infinité de 9 après la virgule ...


ce qui me pose probléme ce n'est pas tant l'égalité en elle même ni la démonstration mathématique mais le faite que l'infini , a chaque fois qu'on l'applique a quelque chose tente a créer un paradoxe....

la démonstration est fausse : 0.99999... avec un infinité de 9 après la virgule, c'est x quand x tend vers 1, et ça n'est pas égal à 1 : c'est égal à 1-epsilon avec epsilon qui tend vers 0.

Toute la nuance est dans le "qui tend vers".

soit un nombre x = 0.9999... avec une infinité de 9 après la virgule
10x = 9.9999 avec une infinité de 9

jusque là, c'est bon.

donc 10x = 9+x

stop ! c'est faux !!
10x = 9.9999 n'est pas équivalent à 10x = 9+x, car rien ne dit qu'il y a autant de 9 après la virgule de 9.9999 qu'après celle de 0.99999

Une infinité de 9 moins une infinité de 9, ça ne fait pas zéro ! c'est une opération impossible !
On ne peut pas soustraire des quantités infinies.

Ryuujin a écrit :la démonstration est fausse : 0.99999... avec un infinité de 9 après la virgule, c'est x quand x tend vers 1, et ça n'est pas égal à 1 : c'est égal à 1-epsilon avec epsilon qui tend vers 0.
Toute la nuance est dans le "qui tend vers".

La demonstration est juste. Ton argumentation serait correcte si effectivement l'objet etait une fonction qui "tendait" vers un. Mais là rient ne "tend" : on s'interesse à un nombre fixe.
Il est evidemment possible de remplacer le probleme par une fonction : f(n) = f(n-1)+9/10^n. et là tout depndrait de où on s'arrete, ou si on passe à la limite. mais là il s'agit bien d'un nombre fixe, et d'un developpement decimal particulier de ce nombre.

le epsilon dont tu parles ne tend donc pas vers 0. Il est fixe aussi (ma demo à moi est de montre avec des methodes plus academiques qu il vaut 0)

Ryuujin a écrit : stop ! c'est faux !!
10x = 9.9999 n'est pas équivalent à 10x = 9+x, car rien ne dit qu'il y a autant de 9 après la virgule de 9.9999 qu'après celle de 0.99999

Le résultat est juste, mais il est vrai que ca se serait pas recevable niveau rigueur. On sait combien il y a de 9, aleph0 des deux cotés, c'est encore une confusion nombre/expression : on sait combien il y en a, ce qui n'est pas la meme chose que de savoir combien on en met quand on veut representer le resultat.
Si on fait la difference on pourrait avoir au choix :
9.999...-9x = 0.0000....
9.999...-9x = 0.0000..."+un 9 infiniment loin"
9.999...-9x = 0.0000..."+un 9999 infiniment loin",
ce qui ne change pas la valeur du resultat, 0.

Ryuujin a écrit :On ne peut pas soustraire des quantités infinies.

C'est en effet rarement possible (il faut aller chercher des trucs du genre aleph1-aleph0=aleph1 mais bon c est pas le sujet)
Mais là encore une fois il s'agit d'une quantité tout ce qu'il y a de plus finie. C'est l'expression qui en est donnée qui est infinie.

mea culpa ; en fait c'est la limite de la série géométrique de premier terme 0,9 et de raison 1/10, là ça me parle plus.

La soustraction de deux nombres non-fixés me dérange dans cette formulation de la démonstration ; je préfère vraiment passer par une limite en l'infini.

Je crois que pour les situations ou on trouve l'infini, on utilise les limites ( limite de x qui tend vers un nombre ou vers l'infini.

Pour le paradoxe:
soit un nombre x = 0.9999... avec une infinité de 9 après la virgule

10x = 9.9999 avec une infinité de 9

donc 10x = 9+x ; donc 9x=9 ....et x = 1 !

donc 0.9999 = 1 !

Le problème ici, c'est que pour se permettre à ecrire 0.99999... on doit fixer un nombre de 9, par exemple 100;
Le 10x = 9.99999... mais avec 99, et non 100. donc il n y a pas autant de 9 après la virgule pour le x et le 10x.
Si on se fixe un nombre de 9 dans 0.9999.... alors on doit le garder pour 10x, car l'infini =! l'infini + x, parceque l'infini + x n'existe pas, seul l'infini qui existe. c'est pour ça qu'on utilise les limites et c'est pour eviter des contradiction du même genre:
l'infini/l'infini (=0? ; =x? ; =l'infini?)
+l'infini + (-)l'infini (=0? ; =x? ; =(+/-)l'infini?)
1/(+/-)l'infini (=0? ; >0? ou inferieur à 0?)

Pour echaper à ça, on utilise les limites.
et donc lim(x-->1)10x=lim(x-->1)9+x

Je l'ai deja expliqué, utiliser les limites sur des nombres ne sert à rien : un nombre est sa propre limite. ta limite est suivant quel variable ? le nombre de 9 apres la virgule ? ca n'a pas de sens pour le nombre, où on a dit clairement qu il y a une infinité de 9. ca peut servir avec une fonction approchant le nombre.
et on ne peut pas effectuer d'operations faciles avec l'infini "8 couché", mais avec aleph0 c'est deja plus possible. "8 couché" est une limite réelle, aleph0 est un cardinal.

ximatt a écrit :Je l'ai deja expliqué, utiliser les limites sur des nombres ne sert à rien : un nombre est sa propre limite. ta limite est suivant quel variable ? le nombre de 9 apres la virgule ? ca n'a pas de sens pour le nombre, où on a dit clairement qu il y a une infinité de 9. ca peut servir avec une fonction approchant le nombre.
et on ne peut pas effectuer d'operations faciles avec l'infini "8 couché", mais avec aleph0 c'est deja plus possible. "8 couché" est une limite réelle, aleph0 est un cardinal.

Les limites sont la seule solution, parcequ'on manipule avec l'infini:
infini + 1 = l'infini ? ou l'infini + 1 > l'infini?
Les deux sont faux, parcequ'il n'existe rien après l'infini, et donc le nombre de 9 après la virgule de 10x sera moins par un que celui de x, car il n'existe qu'un seul infini,

sambion a écrit :Les limites sont la seule solution, parcequ'on manipule avec l'infini:

C'est vrai pour les réels, pas pour les cardinaux (cf les travaux de Cantor). Et ce n'est pas le problème vu qu'ici le nombre est fini !

sambion a écrit :infini + 1 = l'infini ? ou l'infini + 1 > l'infini?

pour l'infini "8 couché", ces opérations sont effectivement interdites. Mais pour les transfinis de Cantor c'est possible (aleph0+1=aleph0)

sambion a écrit :Les deux sont faux, parcequ'il n'existe rien après l'infini, et donc le nombre de 9 après la virgule de 10x sera moins par un que celui de x, car il n'existe qu'un seul infini,

A nouveau ce que tu declares peremptoirement n'est valable que pour l'infini des réels et pas les infinis des cardinaux. Et le "nombre de 9" appartient à la 2e categorie : pour faire simple, il est infini mais est homogene à un nombre entier. Et à nouveau on s'en fout vu que rien n'est infini ici à part la representation du nombre. pas le nombre (un nombre qui commence par "0,..." et qui est infini y a du souci à se faire)